De cirkel

De cirkel, meer dan een rondje

Terug naar basis kennis wiskunde

	Een cirkel is rond, dat is wel bekend, maar wat weten er nog meer van?
	Allereerst, hoe maak je een cirkel?
	Een beetje afgezaagd, maar iets wat toch veel duidelijk maakt is het volgende:
	Sla een spijker in een plankje, en bevestig er met een lusje een touwtje aan.
	De andere kant van het touwtje bevestig je aan een potlood.
	Houdt het touwtje strak, en draai met de wijzers van de klok mee in de rondte, er tegenin mag ook.
	Het punt waar de spijker zit, noemen we het centerpunt van de cirkel, het middelpunt.
	Dit levert de volgende beelden op:

	We weten nu dus ook, dat de cirkel kan worden getekend door te draaien met de tijd mee, maar ook door te draaien tegen de tijd in !!
	Overduidelijk is, dat de lengte van het touwtje de grote van de cirkel bepaald.
	De lengte van het touwtje noemen we de straal van de cirkel.
	In formule vorm vindt je de straal altijd aangeduid met de letter "r", de "r" van radius.
	Stel dat we het touwtje na de vorming van de cirkel even doordraaien naar "drie uur", (kleine wijzer van de klok) het touwtje staat dan vanaf de spijker helemaal naar rechts.
	Nemen we een tweede touwtje met gelijke lengte, en zetten dat op "negen uur"
	Dit levert het volgende beeld op:

	We zien dat twee maal de lengte van het touwtje precies de middellijn van de cirkel vormen, we noemen dat de diameter, en in formule vorm wordt dat weergegeven met de letter "d".
	Dus, twee maal de lengte van het touwtje, dat is twee maal de straal "r" is gelijk aan de diameter "d"
	Ook wel geschreven 2 x r = d of wat hetzelfde is --> 2r=d

	Wat ook tot de eigenschappen van een cirkel behoort, is het gegeven dat de diameter precies " 3 en 1/7" keer op de omtrek van de cirkel past.
	De schuine streep / moet u lezen als: "gedeeld door"
	Als je dus de cirkel doorknipt, en uitlegt als een lijn, en daarna de diameter pakt, (dat is twee maal de lengte van het touwtje, 2 x de straal r) dan blijkt die diameter precies 3 en één-zevende keer ( 3⁄ ) "te passen" op die uitgelegde lijn.
	Of in formule vorm: de omtrek O=3⁄ x d
	⁄= 1 gedeeld door 7 = 0,14 (afgerond)
	Dus 3 + 1/7 = 3 + 0,14 =3,14
	Dus mogen we ook schrijven O = 3,14 x d = 3,14d
	Ik schreef al, afgerond is ⁄ = 0,14 Vaak maakt deze afronding niet veel uit, maar als je met grote getallen gaat vermenigvuldigen of delen zoals in de elektronica bijvoorbeeld, krijg je te grote afwijkingen. We schrijven het daarom ook wel anders:
	Als we schrijven het cijfer 3, staat er eigenlijk "drie gedeeld door 1" of ook wel ⁄ = 3
	Nu mogen we 1 ook rustig schrijven als ⁄, immers 7 gedeeld door 7 is weer 1.
	We weten 3 x 1 = 3 , er verandert dan niets.
	3= 3/1 en 1 = 7/7 dus in plaats van 3 x 1 mogen we ook schrijven: 3/1 X 7/7 = 21/7
	De diameter ging exact 3 en 1/7 keer op de omtrek, dus dat is dan 21/7 + 1/7 = 22/7
	De diameter gaat dus exact 22/7 keer op de omtrek. Omtrek O = 22/7 x d = ⁄d
	Die 22/7 noemt men "pi" en in formule vorm ziet u daarvoor heel vaak het tekentje
	We krijgen dan de Omtrek --> O =d
	.
	U moet deze pi absoluut niet verwarren met phi, want phi hoort bij Fibonacci thuis (0,618034) en dat is weer een ander hoofdstukje.

	In het voorgaande hielden we het touwtje strak op dezelfde lengte, terwijl we met de cijfers van klok mee draaiden, of er tegenin draaiden.
	Wat nu, als we tijdens het ronddraaien het touwtje geleidelijk laten vieren, dus geleidelijk langer laten worden, en meer dan één rondje maken ?
	We krijgen dan de volgende afbeeldingen:

	Let ook eens op de achtergrond van deze pagina ;-)
	Als we dit volgens bepaalde verhoudingen zouden doen, dan ontstaan er de zogenaamde groeipatronen.
	Voorbeelden van dergelijke groeipatronen zien we dagelijks, bij de mens en in de natuur, maar ze komen ook voor in de beurs grafieken.
	Hieronder even een paar afbeeldingen om te laten zien wat ik bedoel:
	Het oor van de mens:

De natuur:

De beurs:

	We zullen deze afbeeldingen later nog tegenkomen bij de behandeling van fractals, en we zullen later alles vertalen richting het huidige beursverloop.
	We zullen dan ook zien, dat de spiraal bij dalende beurs anders draait als bij stijgende beurs.
	Ook zullen we berekeningen uit gaan voeren aan deze spiraal, hij is tenslotte makkelijker te berekenen dan te tekenen.

**

	Tot slot wil ik nog één onderwerp van de cirkel aantippen, het cirkel segment.
	Stel dat we met het touwtje 1 keer volledig met de wijzers van de klok mee zijn rond gegaan, we zijn gestart op 3 uur, en we staan met het potlood weer op 3 uur.
	We tekenen daar een streep, vanaf het middelpunt naar 3, dus een horizontale lijn vanuit het middelpunt naar de omtrek, op 3 uur.
	Nu draaien we het touwtje 2 uur verder met de klok mee naar 5 uur, en tekenen daar weer een streep vanuit het middelpunt naar 5 uur.
	De ruimte welke wordt ingesloten tussen deze twee lijnen is dan 2 uur.
	Als we een keer helemaal rond gaan met het touwtje, dan zijn dat twaalf uren.
	dus 1 uur = 1/12 deel van de cirkel
	2 uur is dan 2/12 deel van een cirkel =1/6 deel van de cirkel
	3 uur is dan 3/12 deel van een cirkel = 1/4 deel van de cirkel.
	Nu werken we met een cirkel niet met uren, maar met graden.
	Een volledige cirkel is 360-graden, we schrijven dan 360°
	Zo zagen we hierboven, dat het ingesloten deel van de cirkel tussen 3 uur en 5 uur gelijk is aan 2 uur.
	2/12 = 1/6 deel van de totale cirkel
	1/6 deel van 360° = 360/6 = 60°
	Het ingesloten deel noemen we een segment, in dit geval dus een segment van een cirkel = cirkel segment.
	Het gearceerde gedeelte tussen 3 en 5 uur is dus een cirkel segment van 60 graden = 60°
	60 graden is een belangrijke hoek, we zullen hem nog vaker tegenkomen.

	Dan krijgen we in de toekomst nog te maken met de lengte van het gebogen stukje van het gearceerde gedeelte, de booglengte.
	Ook dat is heel simpel te bepalen in dit geval, we weten dat de hoek tussen de twee lijnen 60 graden is, dat is 1/6 van het totaal.
	De booglengte is dan ook 1/6 van het totaal, dus 1/6 van de omtrek, ofwel Omtrek/6 , ofwel O/6

*****

	Na dit inleidende stukje van de cirkel spreken we in de toekomst niet meer over "het touwtje", maar zullen we spreken over een vector.
	De lijn die dus de lengte van de straal aangeeft, wordt straks een vector genoemd, die met de tijd mee of tegen de tijd in kan draaien.
	Het centerpunt van de cirkel, het middelpunt, wordt straks het aangrijppunt van de vector.
	radius=r=straal
	diameter = d =2x straal =2r d=2r
	Omtrek O =d d=2r O= x2r --> O=2r
	Het uur van de klok waar de vector op staat, komen we later weer tegen bij Gann.

	Voor dit moment wilde ik het even hierbij laten, de rest van de eigenschappen van een cirkel behandelen we later.
	Als vervolg op de basis begrippen voor de cirkel staat voor de toekomst eerst in de planning de basis begrippen van de ovaal en de ellips.
	De ellips heeft in tegenstelling tot de cirkel twee verschoven brandpunten, twee centers.
	Wordt vervolgd .....

Indien er onduidelijkheden zijn, e-mail dan even, ik verwerk die dan in dit stukje.

Terug naar basis kennis wiskunde

***