De cirkel, meer dan een rondje

Terug naar basis kennis wiskunde

bulletEen cirkel is rond, dat is wel bekend, maar wat weten er nog meer van?
bulletAllereerst, hoe maak je een cirkel?
bulletEen beetje afgezaagd, maar iets wat toch veel duidelijk maakt is het volgende:
bulletSla een spijker in een plankje, en bevestig er met een lusje een touwtje aan.
bulletDe andere kant van het touwtje bevestig je aan een potlood.
bulletHoudt het touwtje strak, en draai met de wijzers van de klok mee in de rondte, er tegenin mag ook.
bulletHet punt waar de spijker zit, noemen we het centerpunt van de cirkel, het middelpunt.
bulletDit levert de volgende beelden op:

bulletWe weten nu dus ook, dat de cirkel kan worden getekend door te draaien met de tijd mee, maar ook door te draaien tegen de tijd in !!
bulletOverduidelijk is, dat de lengte van het touwtje de grote van de cirkel bepaald.
bulletDe lengte van het touwtje noemen we de straal van de cirkel.
bulletIn formule vorm vindt je de straal altijd aangeduid met de letter "r", de "r" van radius.
bulletStel dat we het touwtje na de vorming van de cirkel even doordraaien naar "drie uur",  (kleine wijzer van de klok) het touwtje staat dan vanaf de spijker helemaal naar rechts.
bulletNemen we een tweede touwtje met gelijke lengte, en zetten dat op "negen uur"
bulletDit levert het volgende beeld op:

bulletWe zien dat twee maal de lengte van het touwtje precies de middellijn van de cirkel vormen, we noemen dat de diameter, en in formule vorm wordt dat weergegeven met de letter "d".
bulletDus, twee maal de lengte van het touwtje, dat is twee maal de straal "r" is gelijk aan de diameter "d"
bulletOok wel geschreven 2 x r = d of wat hetzelfde is -->  2r=d

 

bulletWat ook tot de eigenschappen van een cirkel behoort, is het gegeven dat de diameter  precies " 3 en 1/7" keer op de omtrek van de cirkel past.
bulletDe schuine streep /  moet u lezen als:  "gedeeld door"
bulletAls je dus de cirkel doorknipt, en uitlegt als een lijn, en daarna de diameter pakt, (dat is twee maal de lengte van het touwtje, 2 x de straal r) dan blijkt die diameter precies 3 en één-zevende keer  ( 3⁄ ) "te passen" op die uitgelegde lijn.
bulletOf in formule vorm:  de omtrek O=3⁄ x d
bullet⁄= 1 gedeeld door 7 = 0,14  (afgerond)
bulletDus 3 + 1/7 = 3 + 0,14 =3,14
bulletDus mogen we ook schrijven O = 3,14 x d   = 3,14d
bulletIk schreef al, afgerond is ⁄ = 0,14  Vaak maakt deze afronding niet veel uit, maar als je met grote getallen gaat vermenigvuldigen of delen zoals in de elektronica bijvoorbeeld, krijg je te grote afwijkingen. We schrijven het daarom ook wel anders:
bulletAls we schrijven het cijfer 3, staat er eigenlijk "drie gedeeld door 1" of ook wel ⁄ = 3
bulletNu mogen we 1 ook rustig schrijven als ⁄, immers 7 gedeeld door 7 is weer 1.
bulletWe weten 3 x 1 = 3  , er verandert dan niets.
bullet3= 3/1   en 1 = 7/7  dus in plaats van 3 x 1 mogen we ook schrijven:  3/1 X 7/7 = 21/7
bulletDe diameter ging exact 3 en 1/7 keer op de omtrek, dus dat is dan 21/7 + 1/7 = 22/7
bulletDe diameter gaat dus exact 22/7 keer op de omtrek.  Omtrek O = 22/7 x d = ⁄d
bulletDie 22/7 noemt men "pi" en in formule vorm ziet u daarvoor heel vaak het tekentje
bulletWe krijgen dan de Omtrek  -->   O =d
bullet.
bulletU moet deze pi absoluut niet verwarren met phi, want phi hoort bij Fibonacci thuis (0,618034) en dat is weer een ander hoofdstukje.

 

bulletIn het voorgaande hielden we het touwtje strak op dezelfde lengte, terwijl we met de cijfers van klok mee draaiden, of er tegenin draaiden.
bulletWat nu, als we tijdens het ronddraaien het touwtje geleidelijk laten vieren, dus geleidelijk langer laten worden, en meer dan één rondje maken ?
bulletWe krijgen dan de volgende afbeeldingen:

       

bulletLet ook eens op de achtergrond van deze pagina ;-)
bulletAls we dit volgens bepaalde verhoudingen zouden doen, dan ontstaan er de zogenaamde groeipatronen.
bulletVoorbeelden van dergelijke groeipatronen zien we dagelijks, bij de mens en in de natuur, maar ze komen ook voor in de beurs grafieken.
bulletHieronder even een paar afbeeldingen om te laten zien wat ik bedoel:
bulletHet oor van de mens:

       

bulletDe natuur:

       

bulletDe beurs:

           

bulletWe zullen deze afbeeldingen later nog tegenkomen bij de behandeling van fractals, en we zullen later alles vertalen richting het huidige beursverloop.
bulletWe zullen dan ook zien, dat de spiraal bij dalende beurs anders draait als bij stijgende beurs.
bulletOok zullen we berekeningen uit gaan voeren aan deze spiraal, hij is tenslotte makkelijker te berekenen dan te tekenen.

 

bullet**

 

bulletTot slot wil ik nog één onderwerp van de cirkel aantippen, het cirkel segment.
bulletStel dat we met het touwtje 1 keer volledig met de wijzers van de klok mee zijn rond gegaan, we zijn gestart op 3 uur, en we staan met het potlood weer op 3 uur.
bulletWe tekenen daar een streep, vanaf het middelpunt naar 3, dus een horizontale lijn vanuit het middelpunt naar de omtrek, op 3 uur.
bulletNu draaien we het touwtje 2 uur verder met de klok mee naar 5 uur, en tekenen daar weer een streep vanuit het middelpunt naar 5 uur.
bulletDe ruimte welke wordt ingesloten tussen deze twee lijnen is dan 2 uur.
bulletAls we een keer helemaal rond gaan met het touwtje, dan zijn dat twaalf uren.
bulletdus 1 uur =  1/12 deel van de cirkel
bullet2 uur is dan 2/12 deel van een cirkel =1/6 deel van de cirkel
bullet3 uur is dan 3/12 deel van een cirkel = 1/4 deel van de cirkel.
bulletNu werken we met een cirkel niet met uren, maar met graden.
bulletEen volledige cirkel is 360-graden, we schrijven dan 360°
bulletZo zagen we hierboven, dat het ingesloten deel van de cirkel tussen 3 uur en 5 uur gelijk is aan 2 uur.
bullet 2/12 = 1/6  deel van de totale cirkel
bullet1/6 deel van 360° = 360/6 = 60°
bulletHet ingesloten deel noemen we een segment, in dit geval dus een segment van een cirkel = cirkel segment.
bulletHet gearceerde gedeelte tussen 3 en 5 uur is dus een cirkel segment van 60 graden  = 60°
bullet60 graden is een belangrijke hoek, we zullen hem nog vaker tegenkomen.

       

bulletDan krijgen we in de toekomst nog te maken met de lengte van het gebogen stukje van het gearceerde gedeelte, de booglengte.
bulletOok dat is heel simpel te bepalen in dit geval, we weten dat de hoek tussen de twee lijnen 60 graden is, dat is 1/6 van het totaal.
bulletDe booglengte is dan ook 1/6 van het totaal, dus 1/6 van de omtrek, ofwel Omtrek/6 , ofwel O/6

*****

bulletNa dit inleidende stukje van de cirkel spreken we in de toekomst niet meer over "het touwtje", maar zullen we spreken over een vector.
bulletDe lijn die dus de lengte van de straal aangeeft, wordt straks een vector genoemd, die met de tijd mee of tegen de tijd in kan draaien.
bulletHet centerpunt van de cirkel, het middelpunt, wordt straks het aangrijppunt van de vector.
bulletradius=r=straal
bulletdiameter = d =2x straal =2r   d=2r
bulletOmtrek O =d     d=2r    O= x2r  -->  O=2r
bulletHet uur van de klok waar de vector op staat, komen we later weer tegen bij Gann.

 

bulletVoor dit moment wilde ik het even hierbij laten, de rest van de eigenschappen van een cirkel behandelen we later.
bulletAls vervolg op de basis begrippen voor de cirkel staat voor de toekomst eerst in de planning de basis begrippen van de  ovaal en de ellips.
bulletDe ellips heeft in tegenstelling tot de cirkel twee verschoven brandpunten, twee centers.
bulletWordt vervolgd .....

 

bulletIndien er onduidelijkheden zijn, e-mail dan even, ik verwerk die dan in dit stukje.

 Terug naar basis kennis wiskunde

***