Veel-hoeken

Terug naar basis kennis wiskunde

Dit stukje laat even wat figuren zien met drie of meer hoeken en wat basis kennis.
Wat vermeld wordt is dus bij lange na niet het complete verhaal
In het vervolg van Gann & Technieken wordt dit waar nodig verder uitgediept.
 
We beginnen met de rechthoek, daarna het vierkant gevolgd door de driehoek.

 

Rechthoek

Figuur 1:

Eén van de eigenschappen van een rechthoek zit al in de naam verwerkt --> rechte -hoek.
En als een timmerman zegt dat de hoek recht is -- haaks is -- dan bedoelt hij dat de ene lijn onder een hoek van 90-graden staat ten opzichte van de andere lijn.
Om de lijnen aansluitend te krijgen zullen we dus 4 keer de hoek om moeten, dus 4 hoeken
Elke hoek heeft 90 graden, dus de som van alle vier de hoeken is 4 x 90 = 360 graden.
Een andere eigenschap die uit de hoeken van 90 graden volgt, is dat de lengte van lijn A gelijk is aan de lengte van lijn C ; en dat de lengte van lijn B gelijk is aan de lengte van lijn D.
De omtrek van een rechthoek is de som van de zijden --> Omtrek   O = A+B+C+D
De oppervlakte is  A x B
Is de maateenheid die gebruikt wordt centimeters, cm,  dan wordt de uitkomst aangeduid in vierkante centimeters  -->  cm²
Is de gebruikte maateenheid meters, dan wordt de uitkomst van dit sommetje uitgedrukt in vierkante meters --> m²
.
We kunnen in zo'n rechthoek een diagonale lijn trekken tussen twee overstaande hoeken:
Figuur 2:

We zien dat deze lijn, een diagonaal, twee hoeken in stukken verdeeld.
Deze diagonaal verdeeld dus de rechthoek in twee driehoeken met een rechte hoek.
We noemen deze driehoeken rechthoekige driehoeken.
Omdat de som van de vier hoeken in de rechthoek 360 graden bedraagt, en deze nu door de twee driehoeken in tweeën wordt verdeeld, kunnen we gemakkelijk inzien dat er voor elke driehoek 360:2 = 180 graden overblijft.
Hieronder staat even de rechthoekige driehoek met de zijden  C en D.
Figuur 3:

Hierboven konden we lezen dat de de som van de hoeken in een driehoek 180 graden bedraagt, en tevens dat één van de hoeken in een rechthoekige driehoek 90 graden is.
De andere twee hoeken zullen dus de overige 90 graden moeten verdelen.
In figuur 3 is dus de som van de hoeken R en S  gelijk aan 90 graden  R+S=90 graden.
.
Stel nu dat we in figuur 2 de lengte van de diagonaal willen weten.
Inmiddels weten we dat de lengte van de diagonaal de schuine zijde is van de driehoek, in figuur 3 staat er een X bij
Om nu die schuine zijde eenvoudig uit te rekenen, gebruiken we een eigenschap van een rechthoekige driehoek -->  en wel dat de wortel uit de som van de -rechthoekszijde in het kwadraat- de lengte is van de schuine zijde.
De wortel en het kwadraat hebben we de vorige keer al behandeld, dus dat komt mooi uit.
We noemen de schuine zijde even X, omdat die nog onbekend is.
De notatie is dan X =√(c² + D²)
Voorbeeld: stel lengte lijn C op 3 centimeter en lengte lijn D op 4 centimeter
C = 3cm en D=4cm
C² = 3 x 3 = 9 cm
D² = 4 x  4 = 16 cm
X = √ (9 + 16 ) = √ 25  --> 5 cm    (omdat 5X5 =25)
 
Eén andere eigenschap wil ik nog even vermelden, en dat is dat wanneer men twee diagonalen trekt in een rechthoek, deze diagonalen elkaar exact in het midden kruisen.
Figuur 4:

De diagonalen verdelen elkaar dus precies in tweeën, een eigenschap die we later nog zullen gebruiken, de lengte van de halve diagonalen q zijn gelijk en de lengte van de halve diagonalen r zijn gelijk.
Tevens geldt dat q en r even lang zijn.
.
Tevens ziet u nu vier driehoeken in de rechthoek ontstaan, waarbij geldt dat de tegenover elkaar liggen driehoeken exact gelijk zijn,  de driehoeken H zijn aan elkaar gelijk en de driehoeken K zijn aan elkaar gelijk.
Wil ik even een kleine opmerking maken, en dat is dat de som van de hoeken in elke driehoek  180 blijft.
Het aantal graden wat we zogezegd te kort komen wordt geleverd door de ontstane hoeken bij het kruispunt van de diagonalen; ik heb er even vier stipjes ingezet.
Merk op, dat de driehoeken in dit geval geen rechthoekige driehoeken meer zijn.
We kunnen er wel 8 rechthoekige driehoeken van maken, maar dat zien we even verderop.
Wel zult u zien, dat elke driehoek twee zijden heeft die even lang zijn, dat zijn die zijden die worden gemaakt door de halve diagonalen.
We noemen dit een gelijkbenige driehoek (twee gelijke benen), immers q en r zijn even lang.
**
Eerst wil ik even een speciale uitvoering van de rechthoek bekijken, en wel die rechthoek waarbij de vierzijden even lang zijn.
Een rechthoek waarbij alle vier de zijden even lang zijn noemen we kortweg een vierkant.
Figuur 5:

In een vierkant geldt dus A=B=C=D
Een vierkante heeft enkele mooie gemakkelijke eigenschappen.
Zo is de omtrek 4 x A  (wat ook mag is:  4 x B of 4 x C of 4 x D  )
De oppervlakte is simpel weg A²  ( wat ook mag  B² of C² of D² )
.
De diagonalen maken ook weer vier driehoeken, die in dit geval alle vier exact gelijk zijn aan elkaar.
.
Wat ook in een vierkant geldt, is dat de diagonalen haaks op elkaar staan.
Daardoor ontstaan er dus 4 hoeken van 90 graden in het kruispunt.
En omdat deze hoeken van 90 graden één van de hoeken van een driehoek is, die ontstaan door de diagonalen, zijn het dus rechthoekige gelijkbenige driehoeken.
.
De lengte van de schuine zijde is in dit geval gelijk aan de lengte van een zijde van het vierkant.
.
Rekenen aan een vierkant is ook leuk ;-)
Stel, we hebben een vierkant van 1 x 1 cm.
De omtrek is van 4 x 1 -->  4 cm
De oppervlakte is 1² = 1 cm²
De lengte van een diagonaal is dan   √ (1² + 1²) =  √ 2   en dat is afgerond 1,414 maar liever laat ik die wortel uit 2 gewoon staan als  √2  omdat dit bij verdere berekeningen minder fouten oplevert, de wortel uit twee levert namelijk een getal op wat achter de komma nooit eindigt.
.
Die wortel uit 2,   √2   ~1,41  moeten we echter onthouden.
.
We weten ook, dat de diagonalen elkaar exact door midden snijden.
De halve lengte van zo'n diagonaal is dan  een half wortel uit 2  =  wortel uit 2 gedeeld door 2 --> (√2)/2
.
De haakjes zijn een voortvloeisel uit Meneer van Dalen.
Klik op de link als u zich die meneer niet meer voor de geest kan halen ;-))
.
Zo'n halve diagonaal,  (√2)/2  is één van de rechthoekzijden van de rechthoekige gelijkbenige driehoek.
De schuine zijde van zo'n rechthoekige driehoek kunnen we berekenen zoals hierboven weergegeven door de wortel te trekken uit de som van elke  "rechthoekzijde in het kwadraat".
Elke rechthoek zijde is  een halve diagonaal, --> (√2)/2
Een rechthoekzijde in het kwadraat is dan ((√2)/2)²
We hebben in het vierkant te maken met een gelijkbenige rechthoekige driehoek, dus beide benen zijn even lang.
De som van de rechthoekzijde in het kwadraat wordt dus een simpele optelling van :  ((√2)/2)²  +  ((√2)/2)²
En de schuine zijde X was de wortel uit die som (optelling) dus geldt --> √ ( ((√2)/2)²  +  ((√2)/2)² ) en dat is dan weer 1, en zo is 't cirkeltje weer rond.
.
.
Er zijn nog veel meer eigenschappen, maar die behandelen we in een later stadium, dit is als eerste basis even voldoende.
Ik wil eerst even verder met de driehoek, omdat deze in nagenoeg alle figuren voorkomt.
Het is namelijk van belang om de driehoeken die er zijn goed onder de knie te krijgen.
Zoals we hierboven al zagen is een rechthoek, of de speciale uitvoering ervan --> het vierkant, niet meer dan een verzameling driehoeken.
Ook de kubus is een verzameling driehoeken, maar dan drie dimensionaal.
Ook een cirkel is opgebouwd uit driehoeken, echter één zijde van elke driehoek is daarbij een booglengte, allemaal taartpuntjes zullen we maar zeggen ;-)
 

*****************************

De driehoek.

Een driehoek, de naam zegt het al:  een object met drie ingesloten hoeken.
In figuur 3 zagen we er al één, de rechthoekige driehoek.
We maken onderscheid in de volgende driehoeken:
  1. De willekeurige driehoek
  2. De rechthoekige driehoek
  3. De gelijkbenige driehoek
  4. De  gelijkzijdige  driehoek
We bekijken ze hieronder even kort, we breiden het later uit naar gelang de overige uitleg vordert.
.
De willekeurige driehoek:
Figuur 6:

Een belangrijke eigenschap in een driehoek is dat de som van alle hoeken bij elkaar altijd 180 graden is.
Verder liggen de lengte van de zijden in een willekeurige driehoek onderling niet in een vaste verhouding.
De berekening van de grootte van een hoek in een willekeurige driehoek is wat ingewikkelder, en laten we voor dit moment even rusten, we zullen dit voor zover nodig in een later stadium toevoegen.
Voor de latere uitleg van diverse begrippen zijn de volgende driehoeken belangrijker:
.
De rechthoekige driehoek:
Figuur 7:

Dit is een driehoek die we veel zullen tegenkomen in de toekomst.
Deze driehoek kenmerkt zich door de hoek van 90- graden, een rechte hoek.
Hierboven bij figuur 3 werd al uitgelegd hoe de zijde X te bereken was, en omgekeerd daaruit natuurlijk als X bekend is de zijde C of D, door middel van de formule:  X =√(c² + D²)
Een ander voordeel van een rechthoekige driehoek is dat de hoeken eenvoudig te bereken zijn met formules voor sinus, cosinus, tangens en cotangens.
Daarvoor moet van twee zijden de lengte bekend zijn.
-  Sinus = overstaande zijde gedeeld door de schuine zijde
-  Cosinus = aanliggende zijde gedeeld door de schuine zijde
-  Tangens = overstaande  zijde gedeeld door de aanliggende zijde
-  Cotangens = aanliggende zijde gedeeld door de overstaande zijde.
.
Voorbeeld:
Hoek S en R zijn onbekend
We willen de waarde van hoek S weten.
We weten bijvoorbeeld de lengte van D en de lengte van X
We rekenen dan de cosinus uit:  aanliggende zijde gedeeld door de schuine zijde = D/X
Stel D=7,97 en X= 9,398 dan is de cosinus van S -->  7.97/9,398 = ~ 0,84805
In een Sinus tabel, of op uw zakjappaner kunt u dan zien dat deze hoek 32 graden is.
Hoek R is dan ook eenvoudig te berekenen:
We weten dat de som van de ingesloten hoeken 180 graden is, we hebben een rechte hoek van 90 graden en hoek S van 32 graden -->  180 - 90 - 32 = 58 graden.
Het zal duidelijk zijn, dat met hetgeen bij figuur 3 werd beschreven, en wat bij figuur 7 werd beschreven, er maar enkele gegevens bekend hoeven te zijn om daaruit de lengte van de zijden of de hoeken te kunnen berekenen.
De toevoeging van diverse "gonio formules" vergemakkelijken de diverse berekeningen nog.
We komen daar later op terug.
.
De gelijkbenige driehoek
Figuur 8:

De naam zegt het al, en in de figuur is het ook goed te zien, deze drie hoek heeft twee gelijke zijden, benen  B en C vandaar de naam gelijkbenige driehoek.
Een eigenschap van deze driehoek is onder andere dat hoek R en hoek S altijd gelijk zijn.  Hoek T is dan te berekenen door hoek R en hoek S af te trekken van 180 graden -->  hoek T = 180-R-S
We zagen deze gelijkbenige driehoek al eerder in figuur 4.
.
Rekenen aan een gelijkbenige driehoek wordt heel eenvoudig door vanuit top T een lijn te laten zakken zodat deze loodrecht staat op lijn R-S:
Figuur 9:

U ziet dan ineens twee rechthoekige driehoeken ontstaan waarvan zoals we hierboven in figuur 7 al konden zien de zijden en de hoeken eenvoudig te berekenen zijn.
Let er verder op, dat de twee rechthoekige driehoeken volkomen identiek zijn, maar gespiegeld in lijn T-W
Lijn R-S wordt in twee gelijke delen verdeeld, evenals hoek T
.
Wil ik kort nog een driehoek aantippen, de gelijkzijdige driehoek.
.
De gelijkzijdige driehoek
Figuur 10:

Zoals de naam al vermeld: alle drie de zijden zijn gelijk in lengte.
Het mooie daarvan is, dat alle drie de hoeken ook even groot zijn --> 180 /3 = 60 graden.
.
Ook in deze driehoek kunnen we een loodlijn laten dalen vanuit top T.
Deze verdeelt dan ook weer top T in twee gelijke hoeken van elk 30 graden, en lijn R-S in twee gelijke delen.
Figuur 11:

.
Ik laat het voor dit moment even bij deze vereenvoudigde uitleg van driehoeken;  in een later stadium wordt het verder uitgebouwd.
Als u de voorgaande stukjes in dit hoofdstuk -3  -  basis wiskunde goed hebt bekeken, zult u nu eenvoudig kunnen zien dat in figuur 11 de lengte van lijn G-W gelijk is aan --> ( ½EF) X √3
Zoniet, dan hebt u waarschijnlijk te snel over alles heen gelezen, of ... ik ben te onduidelijk geweest ;--)
Een goede beheersing hiervan zal u later een beter inzicht opleveren.
Stuur daarom bij onduidelijkheden een e-mail aan jan@jstas.com, met dat wat niet goed is uitgelegd, ik probeer het dan op een andere wijze uit te leggen.
.
Waarom hamer ik zo op die driehoeken?
Ik heb het al eerder vermeld, ontzettend veel figuren zijn opgebouwd of onder te verdelen in driehoeken, u zag dat in dit korte stukje over veelhoeken al aan de rechthoek en het vierkant, maar ook de driehoek zelf is weer onder te verdelen in driehoeken.
En die driehoeken komen we in de beursgrafieken steeds weer tegen, u zag dat bijvoorbeeld al in de grafiekjes welke te zien zijn in de inleiding -- hoofdstuk 2
Bekijkt u maar eens de volgende figuren, ik behandel ze nu niet, dat komt in latere hoofdstukken aan de orde; maar als u even kijkt zult u zien dat ze zijn opgebouwd uit driehoeken, en zo zijn er nog veel en veel meer.
.
De vijfhoek, het pentagram:

.
De tienhoek, "the decagon":

.
De piramide:

bovenaanzicht ;--))

.

Terug naar basis kennis wiskunde

.
e-mail:   jan@jstas.com
.
Disclaimer: Bovenstaande zijn slechts ideeën, verwachtingen en hersenspinsels. Ze hoeven dan ook helemaal niet te kloppen met de werkelijkheid. Handelen met deze gegevens op de beurs is derhalve voor eigen risico, en wordt afgeraden. U kunt daarbij al uw geld verliezen, en meer dan dat !!