Veel-hoeken

Terug naar basis kennis wiskunde

bulletDit stukje laat even wat figuren zien met drie of meer hoeken en wat basis kennis.
bulletWat vermeld wordt is dus bij lange na niet het complete verhaal
bulletIn het vervolg van Gann & Technieken wordt dit waar nodig verder uitgediept.
bullet 
bulletWe beginnen met de rechthoek, daarna het vierkant gevolgd door de driehoek.

 

bullet

Rechthoek

bulletFiguur 1:

bulletEn van de eigenschappen van een rechthoek zit al in de naam verwerkt --> rechte -hoek.
bulletEn als een timmerman zegt dat de hoek recht is -- haaks is -- dan bedoelt hij dat de ene lijn onder een hoek van 90-graden staat ten opzichte van de andere lijn.
bulletOm de lijnen aansluitend te krijgen zullen we dus 4 keer de hoek om moeten, dus 4 hoeken
bulletElke hoek heeft 90 graden, dus de som van alle vier de hoeken is 4 x 90 = 360 graden.
bulletEen andere eigenschap die uit de hoeken van 90 graden volgt, is dat de lengte van lijn A gelijk is aan de lengte van lijn C ; en dat de lengte van lijn B gelijk is aan de lengte van lijn D.
bulletDe omtrek van een rechthoek is de som van de zijden --> Omtrek   O = A+B+C+D
bulletDe oppervlakte is  A x B
bulletIs de maateenheid die gebruikt wordt centimeters, cm,  dan wordt de uitkomst aangeduid in vierkante centimeters  -->  cm
bulletIs de gebruikte maateenheid meters, dan wordt de uitkomst van dit sommetje uitgedrukt in vierkante meters --> m
bullet.
bulletWe kunnen in zo'n rechthoek een diagonale lijn trekken tussen twee overstaande hoeken:
bulletFiguur 2:

bulletWe zien dat deze lijn, een diagonaal, twee hoeken in stukken verdeeld.
bulletDeze diagonaal verdeeld dus de rechthoek in twee driehoeken met een rechte hoek.
bulletWe noemen deze driehoeken rechthoekige driehoeken.
bulletOmdat de som van de vier hoeken in de rechthoek 360 graden bedraagt, en deze nu door de twee driehoeken in tween wordt verdeeld, kunnen we gemakkelijk inzien dat er voor elke driehoek 360:2 = 180 graden overblijft.
bulletHieronder staat even de rechthoekige driehoek met de zijden  C en D.
bulletFiguur 3:

bulletHierboven konden we lezen dat de de som van de hoeken in een driehoek 180 graden bedraagt, en tevens dat n van de hoeken in een rechthoekige driehoek 90 graden is.
bulletDe andere twee hoeken zullen dus de overige 90 graden moeten verdelen.
bulletIn figuur 3 is dus de som van de hoeken R en S  gelijk aan 90 graden  R+S=90 graden.
bullet.
bulletStel nu dat we in figuur 2 de lengte van de diagonaal willen weten.
bulletInmiddels weten we dat de lengte van de diagonaal de schuine zijde is van de driehoek, in figuur 3 staat er een X bij
bulletOm nu die schuine zijde eenvoudig uit te rekenen, gebruiken we een eigenschap van een rechthoekige driehoek -->  en wel dat de wortel uit de som van de -rechthoekszijde in het kwadraat- de lengte is van de schuine zijde.
bulletDe wortel en het kwadraat hebben we de vorige keer al behandeld, dus dat komt mooi uit.
bulletWe noemen de schuine zijde even X, omdat die nog onbekend is.
bulletDe notatie is dan X =√(c + D)
bulletVoorbeeld: stel lengte lijn C op 3 centimeter en lengte lijn D op 4 centimeter
bulletC = 3cm en D=4cm
bulletC = 3 x 3 = 9 cm
bulletD = 4 x  4 = 16 cm
bulletX = √ (9 + 16 ) = √ 25  --> 5 cm    (omdat 5X5 =25)
bullet 
bulletEn andere eigenschap wil ik nog even vermelden, en dat is dat wanneer men twee diagonalen trekt in een rechthoek, deze diagonalen elkaar exact in het midden kruisen.
bulletFiguur 4:

bulletDe diagonalen verdelen elkaar dus precies in tween, een eigenschap die we later nog zullen gebruiken, de lengte van de halve diagonalen q zijn gelijk en de lengte van de halve diagonalen r zijn gelijk.
bulletTevens geldt dat q en r even lang zijn.
bullet.
bulletTevens ziet u nu vier driehoeken in de rechthoek ontstaan, waarbij geldt dat de tegenover elkaar liggen driehoeken exact gelijk zijn,  de driehoeken H zijn aan elkaar gelijk en de driehoeken K zijn aan elkaar gelijk.
bulletWil ik even een kleine opmerking maken, en dat is dat de som van de hoeken in elke driehoek  180 blijft.
bulletHet aantal graden wat we zogezegd te kort komen wordt geleverd door de ontstane hoeken bij het kruispunt van de diagonalen; ik heb er even vier stipjes ingezet.
bulletMerk op, dat de driehoeken in dit geval geen rechthoekige driehoeken meer zijn.
bulletWe kunnen er wel 8 rechthoekige driehoeken van maken, maar dat zien we even verderop.
bulletWel zult u zien, dat elke driehoek twee zijden heeft die even lang zijn, dat zijn die zijden die worden gemaakt door de halve diagonalen.
bulletWe noemen dit een gelijkbenige driehoek (twee gelijke benen), immers q en r zijn even lang.
bullet**
bulletEerst wil ik even een speciale uitvoering van de rechthoek bekijken, en wel die rechthoek waarbij de vierzijden even lang zijn.
bulletEen rechthoek waarbij alle vier de zijden even lang zijn noemen we kortweg een vierkant.
bulletFiguur 5:

bulletIn een vierkant geldt dus A=B=C=D
bulletEen vierkante heeft enkele mooie gemakkelijke eigenschappen.
bulletZo is de omtrek 4 x A  (wat ook mag is:  4 x B of 4 x C of 4 x D  )
bulletDe oppervlakte is simpel weg A  ( wat ook mag  B of C of D )
bullet.
bulletDe diagonalen maken ook weer vier driehoeken, die in dit geval alle vier exact gelijk zijn aan elkaar.
bullet.
bulletWat ook in een vierkant geldt, is dat de diagonalen haaks op elkaar staan.
bulletDaardoor ontstaan er dus 4 hoeken van 90 graden in het kruispunt.
bulletEn omdat deze hoeken van 90 graden n van de hoeken van een driehoek is, die ontstaan door de diagonalen, zijn het dus rechthoekige gelijkbenige driehoeken.
bullet.
bulletDe lengte van de schuine zijde is in dit geval gelijk aan de lengte van een zijde van het vierkant.
bullet.
bulletRekenen aan een vierkant is ook leuk ;-)
bulletStel, we hebben een vierkant van 1 x 1 cm.
bulletDe omtrek is van 4 x 1 -->  4 cm
bulletDe oppervlakte is 1 = 1 cm
bulletDe lengte van een diagonaal is dan   √ (1 + 1) =  √ 2   en dat is afgerond 1,414 maar liever laat ik die wortel uit 2 gewoon staan als  √2  omdat dit bij verdere berekeningen minder fouten oplevert, de wortel uit twee levert namelijk een getal op wat achter de komma nooit eindigt.
bullet.
bulletDie wortel uit 2,   √2   ~1,41  moeten we echter onthouden.
bullet.
bulletWe weten ook, dat de diagonalen elkaar exact door midden snijden.
bulletDe halve lengte van zo'n diagonaal is dan  een half wortel uit 2  =  wortel uit 2 gedeeld door 2 --> (√2)/2
bullet.
bulletDe haakjes zijn een voortvloeisel uit Meneer van Dalen.
bulletKlik op de link als u zich die meneer niet meer voor de geest kan halen ;-))
bullet.
bulletZo'n halve diagonaal,  (√2)/2  is n van de rechthoekzijden van de rechthoekige gelijkbenige driehoek.
bulletDe schuine zijde van zo'n rechthoekige driehoek kunnen we berekenen zoals hierboven weergegeven door de wortel te trekken uit de som van elke  "rechthoekzijde in het kwadraat".
bulletElke rechthoek zijde is  een halve diagonaal, --> (√2)/2
bulletEen rechthoekzijde in het kwadraat is dan ((√2)/2)
bulletWe hebben in het vierkant te maken met een gelijkbenige rechthoekige driehoek, dus beide benen zijn even lang.
bulletDe som van de rechthoekzijde in het kwadraat wordt dus een simpele optelling van :  ((√2)/2)  +  ((√2)/2)
bulletEn de schuine zijde X was de wortel uit die som (optelling) dus geldt --> √ ( ((√2)/2)  +  ((√2)/2) ) en dat is dan weer 1, en zo is 't cirkeltje weer rond.
bullet.
bullet.
bulletEr zijn nog veel meer eigenschappen, maar die behandelen we in een later stadium, dit is als eerste basis even voldoende.
bulletIk wil eerst even verder met de driehoek, omdat deze in nagenoeg alle figuren voorkomt.
bulletHet is namelijk van belang om de driehoeken die er zijn goed onder de knie te krijgen.
bulletZoals we hierboven al zagen is een rechthoek, of de speciale uitvoering ervan --> het vierkant, niet meer dan een verzameling driehoeken.
bulletOok de kubus is een verzameling driehoeken, maar dan drie dimensionaal.
bulletOok een cirkel is opgebouwd uit driehoeken, echter n zijde van elke driehoek is daarbij een booglengte, allemaal taartpuntjes zullen we maar zeggen ;-)
bullet 

*****************************

bullet

De driehoek.

bulletEen driehoek, de naam zegt het al:  een object met drie ingesloten hoeken.
bulletIn figuur 3 zagen we er al n, de rechthoekige driehoek.
bulletWe maken onderscheid in de volgende driehoeken:
  1. De willekeurige driehoek
  2. De rechthoekige driehoek
  3. De gelijkbenige driehoek
  4. De  gelijkzijdige  driehoek
bulletWe bekijken ze hieronder even kort, we breiden het later uit naar gelang de overige uitleg vordert.
bullet.
bulletDe willekeurige driehoek:
bulletFiguur 6:

bulletEen belangrijke eigenschap in een driehoek is dat de som van alle hoeken bij elkaar altijd 180 graden is.
bulletVerder liggen de lengte van de zijden in een willekeurige driehoek onderling niet in een vaste verhouding.
bulletDe berekening van de grootte van een hoek in een willekeurige driehoek is wat ingewikkelder, en laten we voor dit moment even rusten, we zullen dit voor zover nodig in een later stadium toevoegen.
bulletVoor de latere uitleg van diverse begrippen zijn de volgende driehoeken belangrijker:
bullet.
bulletDe rechthoekige driehoek:
bulletFiguur 7:

bulletDit is een driehoek die we veel zullen tegenkomen in de toekomst.
bulletDeze driehoek kenmerkt zich door de hoek van 90- graden, een rechte hoek.
bulletHierboven bij figuur 3 werd al uitgelegd hoe de zijde X te bereken was, en omgekeerd daaruit natuurlijk als X bekend is de zijde C of D, door middel van de formule:  X =√(c + D)
bulletEen ander voordeel van een rechthoekige driehoek is dat de hoeken eenvoudig te bereken zijn met formules voor sinus, cosinus, tangens en cotangens.
bulletDaarvoor moet van twee zijden de lengte bekend zijn.
bullet-  Sinus = overstaande zijde gedeeld door de schuine zijde
bullet-  Cosinus = aanliggende zijde gedeeld door de schuine zijde
bullet-  Tangens = overstaande  zijde gedeeld door de aanliggende zijde
bullet-  Cotangens = aanliggende zijde gedeeld door de overstaande zijde.
bullet.
bulletVoorbeeld:
bulletHoek S en R zijn onbekend
bulletWe willen de waarde van hoek S weten.
bulletWe weten bijvoorbeeld de lengte van D en de lengte van X
bulletWe rekenen dan de cosinus uit:  aanliggende zijde gedeeld door de schuine zijde = D/X
bulletStel D=7,97 en X= 9,398 dan is de cosinus van S -->  7.97/9,398 = ~ 0,84805
bulletIn een Sinus tabel, of op uw zakjappaner kunt u dan zien dat deze hoek 32 graden is.
bulletHoek R is dan ook eenvoudig te berekenen:
bulletWe weten dat de som van de ingesloten hoeken 180 graden is, we hebben een rechte hoek van 90 graden en hoek S van 32 graden -->  180 - 90 - 32 = 58 graden.
bulletHet zal duidelijk zijn, dat met hetgeen bij figuur 3 werd beschreven, en wat bij figuur 7 werd beschreven, er maar enkele gegevens bekend hoeven te zijn om daaruit de lengte van de zijden of de hoeken te kunnen berekenen.
bulletDe toevoeging van diverse "gonio formules" vergemakkelijken de diverse berekeningen nog.
bulletWe komen daar later op terug.
bullet.
bulletDe gelijkbenige driehoek
bulletFiguur 8:

bulletDe naam zegt het al, en in de figuur is het ook goed te zien, deze drie hoek heeft twee gelijke zijden, benen  B en C vandaar de naam gelijkbenige driehoek.
bulletEen eigenschap van deze driehoek is onder andere dat hoek R en hoek S altijd gelijk zijn.  Hoek T is dan te berekenen door hoek R en hoek S af te trekken van 180 graden -->  hoek T = 180-R-S
bulletWe zagen deze gelijkbenige driehoek al eerder in figuur 4.
bullet.
bulletRekenen aan een gelijkbenige driehoek wordt heel eenvoudig door vanuit top T een lijn te laten zakken zodat deze loodrecht staat op lijn R-S:
bulletFiguur 9:

bulletU ziet dan ineens twee rechthoekige driehoeken ontstaan waarvan zoals we hierboven in figuur 7 al konden zien de zijden en de hoeken eenvoudig te berekenen zijn.
bulletLet er verder op, dat de twee rechthoekige driehoeken volkomen identiek zijn, maar gespiegeld in lijn T-W
bulletLijn R-S wordt in twee gelijke delen verdeeld, evenals hoek T
bullet.
bulletWil ik kort nog een driehoek aantippen, de gelijkzijdige driehoek.
bullet.
bulletDe gelijkzijdige driehoek
bulletFiguur 10:

bulletZoals de naam al vermeld: alle drie de zijden zijn gelijk in lengte.
bulletHet mooie daarvan is, dat alle drie de hoeken ook even groot zijn --> 180 /3 = 60 graden.
bullet.
bulletOok in deze driehoek kunnen we een loodlijn laten dalen vanuit top T.
bulletDeze verdeelt dan ook weer top T in twee gelijke hoeken van elk 30 graden, en lijn R-S in twee gelijke delen.
bulletFiguur 11:

bullet.
bulletIk laat het voor dit moment even bij deze vereenvoudigde uitleg van driehoeken;  in een later stadium wordt het verder uitgebouwd.
bulletAls u de voorgaande stukjes in dit hoofdstuk -3  -  basis wiskunde goed hebt bekeken, zult u nu eenvoudig kunnen zien dat in figuur 11 de lengte van lijn G-W gelijk is aan --> ( EF) X √3
bulletZoniet, dan hebt u waarschijnlijk te snel over alles heen gelezen, of ... ik ben te onduidelijk geweest ;--)
bulletEen goede beheersing hiervan zal u later een beter inzicht opleveren.
bulletStuur daarom bij onduidelijkheden een e-mail aan jan@jstas.com, met dat wat niet goed is uitgelegd, ik probeer het dan op een andere wijze uit te leggen.
bullet.
bulletWaarom hamer ik zo op die driehoeken?
bulletIk heb het al eerder vermeld, ontzettend veel figuren zijn opgebouwd of onder te verdelen in driehoeken, u zag dat in dit korte stukje over veelhoeken al aan de rechthoek en het vierkant, maar ook de driehoek zelf is weer onder te verdelen in driehoeken.
bulletEn die driehoeken komen we in de beursgrafieken steeds weer tegen, u zag dat bijvoorbeeld al in de grafiekjes welke te zien zijn in de inleiding -- hoofdstuk 2
bulletBekijkt u maar eens de volgende figuren, ik behandel ze nu niet, dat komt in latere hoofdstukken aan de orde; maar als u even kijkt zult u zien dat ze zijn opgebouwd uit driehoeken, en zo zijn er nog veel en veel meer.
bullet.
bulletDe vijfhoek, het pentagram:

bullet.
bulletDe tienhoek, "the decagon":

bullet.
bulletDe piramide:

bovenaanzicht ;--))

.

Terug naar basis kennis wiskunde

bullet.
bullete-mail:   jan@jstas.com
bullet.
bulletDisclaimer: Bovenstaande zijn slechts ideen, verwachtingen en hersenspinsels. Ze hoeven dan ook helemaal niet te kloppen met de werkelijkheid. Handelen met deze gegevens op de beurs is derhalve voor eigen risico, en wordt afgeraden. U kunt daarbij al uw geld verliezen, en meer dan dat !!